Structural study · FEM / CalculiX · 2026-09-25

卡榫組裝應變分析

PC/ABS 外殼上蓋的懸臂卡榫（snap-fit），梁長 10 mm、根部厚 1.5 mm、寬 5 mm、扣合深度 0.8 mm。以有限元素法計算組裝時根部的最大應變，對照材料的容許應變，比較四種卡榫外形，並估算組裝力。

材料 PC/ABS（E 2300 MPa） 扣合深度 0.8 mm 判定 反覆拆裝 ε ≤ 1.5 % 求解器 CalculiX 2.22 建模 FreeCAD 1.0.2 + Gmsh 4.13

摘要

建議採用 D：漸縮梁 + 根部 R0.75、梁長加到 11 mm。根部最大應變 1.16 %，低於反覆拆裝容許值 1.5 %，安全係數 1.29；組裝力 5.3 N。

根部最大應變
1.16 %
容許應變（反覆拆裝）
1.5 %
安全係數
1.29
偏折力 P
3.53 N
組裝力 W
5.3 N
  • A 直角根部不合格，而且數值不可信。網格越細應變越大（2.22 → 2.77 → 4.68 %），這是尖角的應力奇異點。直角卡榫的實際應變一定高於手算的 1.79 %，射出成型後常從這裡裂開。
  • B 加了圓角仍不合格。收斂值 2.07 %，超過反覆拆裝容許值 1.5 %（安全係數 0.72）。只組裝一次、之後不再拆的產品勉強可用（2.5 % 以內）。
  • C 漸縮梁剛好合格，但裕度只有 7 %。收斂值 1.41 %。扣合深度只要因公差多 0.1 mm，應變就會升到約 1.58 %，超過容許值。
  • D 把梁加長 1 mm 解決了裕度問題。應變降到 1.16 %；扣合深度多 0.1 mm 時約 1.31 %，仍然合格。代價是卡榫多佔 1 mm 空間，以及扣持力下降（偏折力從 4.69 N 降到 3.53 N）。

需要確認的事項

  • 容許應變 1.5 % 取自材料商設計手冊的通用值，量產前要以實際料號的資料確認。
  • 扣持力是否足夠（上蓋不會因為掉落或碰撞而鬆脫），這次沒有評估，建議實測拔出力。
1 · 範圍

目的與範圍

這次要回答的問題

  • 組裝時卡榫根部的最大應變是否低於材料的容許應變？
  • 根部圓角、梁的漸縮、梁長，各能降低多少應變？
  • 組裝一次需要多大的力？

卡榫尺寸是依常見的外殼卡榫設計訂定的代表性案例，並非量自特定產品。換成實際圖面時，重跑同一套腳本即可。

這次沒有分析的項目

  • 扣持力與拔出力（上蓋受拉時卡榫是否脫開）
  • 長時間扣合下的潛變與應力鬆弛
  • 反覆拆裝的疲勞壽命
  • 高溫、低溫環境下的材料性質變化（本分析為 23 ℃）
  • 對手件的變形（對手件假設為剛體）
  • 射出成型的殘留應力、縫合線、纖維配向
2 · 模型

幾何與方案

四種卡榫方案的側視剖面：A 等厚直角、B 等厚圓角、C 漸縮圓角、D 漸縮圓角加長
圖 1四個方案的側視剖面（mm）。A 是常見的初版設計，根部為直角。B 在根部上下各加 R0.75 圓角（r/h = 0.5）。C 再把梁厚從根部 1.5 mm 線性漸縮到鉤子處 0.75 mm。D 與 C 相同，但梁長加到 11 mm。▼ 是施加 0.8 mm 位移的位置。

模型簡化

  • 只取卡榫和它根部的一小段上蓋牆面（2 mm 厚）。牆面背面完全固定，代表上蓋本體的剛性遠大於卡榫。
  • 對手件以剛體表示：組裝到最深處時，對手件的邊緣把鉤子往內推 0.8 mm（等於扣合深度）。
  • 接觸以「指定位移」表示，不做接觸分析。這是卡榫設計的標準做法，最大應變發生在鉤子被推到底的瞬間。
  • 鉤子的導入角 30°、扣持面 90°，只影響組裝力的計算，不影響應變。

主要尺寸

梁長 L
10 mmD：11 mm
根部厚 h
1.5 mmC、D 漸縮到 0.75 mm
寬度 b
5 mm
扣合深度 y
0.8 mm
根部圓角
R0.75B、C、D；A 為直角
導入角 α
30°
3 · 材料

材料與判定標準

項目數值來源 / 說明
材料PC/ABS外殼常用的工程塑膠；未指定料號
楊氏模數 E2300 MPaPC/ABS 典型值（假設）；線彈性
蒲松比 ν0.36PC/ABS 典型值（假設）
容許應變，一次組裝2.5 %Covestro《Snap-Fit Joints for Plastics》表 2，Bayblend PC/ABS
容許應變，反覆拆裝1.5 %同上，取一次組裝值的 60 %。本報告的判定標準
摩擦係數 μ0.5塑膠對塑膠的常用估計值（假設），只用於組裝力

判定用應變而不用應力：塑膠的應力–應變曲線在 1～2 % 以後就明顯彎曲，線彈性算出的應力會高估；材料商的卡榫設計手冊一律以應變作為判定依據。上蓋會因插拔 SD 卡等需求反覆打開，所以採用反覆拆裝的容許值。安全係數 = 容許應變 ÷ 計算應變。

4 · 負載與邊界條件

負載與邊界條件

固定
牆面背面，全自由度上蓋本體視為剛體
負載
鉤子頂邊 uz = −0.8 mm一條線，x、y 方向與轉動自由
負載型式
指定位移等於扣合深度，組裝到底的瞬間
溫度
23 ℃與容許應變資料一致
對手件
剛體不建模，以指定位移代替接觸
摩擦
不影響應變μ = 0.5 只用於換算組裝力

位移加在鉤子頂端的一條邊上，而不是整個鉤子頂面：加在整個面上會鎖住鉤子的轉動，懸臂變成端點導向梁，偏折力會被高估將近一倍（試算時得到 13.7 N，改用線負載後為 7.65 N，手算 7.72 N）。

5 · 求解設定

求解設定

分析類型
線性靜力另以幾何非線性（NLGEOM）檢核
元素
C3D1010 節點二次四面體
網格
Gmsh Delaunay根部圓角區以 Box field 加密
求解器
CalculiX 2.22spooles 直接解
評估量
最大主應變 |ε|根部區 −1 < x < 3 mm 的節點最大值
計算時間
5 秒～4 分鐘 / case0.3 mm 到 0.1 mm 網格
6 · 結果

四種方案比較

方案 根部最大應變 判定（≤ 1.5 %） 安全係數 手算名目值 偏折力 P 組裝力 W
D 漸縮 + R0.75，L 11 建議方案
1.16 %
 合格 1.29 0.91 % 3.53 N 5.3 N
C 漸縮 + R0.75 厚 1.5 → 0.75 mm
1.41 %
 裕度小 1.07 1.10 % 4.69 N 7.1 N
B 等厚 + R0.75 只加圓角
2.07 %
 不合格 0.72 1.79 % 7.62 N 11.5 N
A 等厚、直角 初版設計
4.68 %*
 不合格 — 1.79 % 6.74 N 10.2 N

長條刻度 0–5 %。數值取最細網格（根部 0.1 mm）。* A 的根部是尖角，應變隨網格加密持續上升、不收斂，數值只代表「遠高於容許值」，不能當作實際應變。手算名目值用 Covestro 公式：等厚 y = 0.67·ε·L²/h，漸縮 y = 1.09·ε·L²/h，不含根部應力集中。組裝力 W = P·(μ + tan α)/(1 − μ·tan α) = 1.515 P。von Mises 應力（線彈性，僅供參考）：D 26.6、C 32.2、B 47.1、A 90.5* MPa。

四種方案的根部應變與組裝力長條圖，含容許應變虛線與手算名目值
圖 2左：根部最大應變與兩條容許值；◆ 是手算名目值。右：組裝力。兩項分開作圖，不共用座標軸。FEM 值都高於手算值，差距就是根部的應力集中。
7 · 圖面

應變分布

四格排列相同：左上 A、右上 B、左下 C、右下 D（建議）。色階一律 0–2.5 %（一次組裝容許值），超過 2.5 % 以深紅色表示。變形為真實比例，灰線是未變形的輪廓。

四種方案組裝到底時的變形與最大主應變分布，側視
圖 3組裝到底時的變形與最大主應變（0–2.5 %）。等厚梁（A、B）的高應變集中在根部，往鉤子方向線性遞減。漸縮梁（C、D）的應變沿梁長分布得比較平均，材料利用得更充分，根部峰值因此下降。
四種方案根部的最大主應變特寫
圖 4根部特寫，色階同圖 3。A 的上下兩個直角各有一個紅點，這就是不收斂的奇異點。B、C、D 的最大值出現在圓角和梁面的交界處，位置平順，網格加密後數值穩定。
四種方案根部的網格特寫
圖 5最細網格的根部特寫（根部圓角區 0.1 mm、梁本體 0.3 mm）。加密區只包住上下圓角的表層，應變最大的位置都在加密區內。
8 · 驗證

網格收斂與結果驗證

根部最大應變隨節點數變化，四個方案
圖 6網格收斂：根部加密區尺寸 0.3 → 0.15 → 0.1 mm。B、C、D 從 0.15 加密到 0.1 mm 時，應變只變化 +1.0 %、+0.4 %、+0.3 %，已經收斂。A 從 2.22 % 一路升到 4.68 %，典型的奇異點行為。

驗證項目

  • 偏折力對照手算：FEM 反力與手算公式差 −1.3 %（B：7.62 對 7.72 N；C：4.69 對 4.75 N）、−1.0 %（D：3.53 對 3.57 N）。邊界條件與材料設定正確。
  • 應變對照手算：FEM 根部應變是手算名目值的 1.16 倍（B）、1.28 倍（C、D）。多出的部分就是根部圓角的應力集中，手算公式本來就不包含。
  • 沿梁長的應變分布：離開根部之後，FEM 與梁理論幾乎重合（圖 7），確認模型在梁本體的行為正確。
  • 幾何非線性檢核：以 0.15 mm 網格改用 NLGEOM 重算，根部應變變化 +0.1 %（B）、−2.9 %（C）；偏折力降低約 3 %。線性解略為保守，足以用於判定。

網格規模（最細網格）

方案節點元素0.15→0.1 mm 變化
A128,50987,295+69 %（發散）
B124,14584,632+1.0 %
C115,15978,180+0.4 %
D116,86379,266+0.3 %
B 與 C 方案底面軸向應變沿梁長的分布，FEM 與梁理論比較
圖 7底面軸向應變沿梁長的分布，實線 FEM、虛線梁理論。FEM 曲線從 x ≈ 0.9 mm 開始，因為更靠近根部的底面是圓角曲面，不在 z = 0 平面上。梁本體兩者吻合；漸縮梁（C）的應變在前半段幾乎等值，這就是漸縮設計降低峰值的原因。

不確定度

  • 尚無實測數據。數值誤差（網格、非線性）估計在 ±3 % 以內。
  • 最大的不確定來源是材料：容許應變與 E 都是通用值，不同料號可能差 ±20 % 以上。

敏感度（依 ε ∝ y·h / L² 由 FEM 值換算）

  • 扣合深度 +0.1 mm（0.9 mm）：C 升到 1.58 %（不合格）；D 升到 1.31 %（合格）。
  • 根部厚度 +0.05 mm：C 1.45 %、D 1.20 %。
  • 應變與扣合深度成正比，扣合深度的公差是最需要管控的尺寸。

限制

  • 材料為線彈性，E 取初始模數。塑膠在 1～2 % 應變時的割線模數較低，實際偏折力與組裝力會比表列值低；應變判定不受影響。
  • 對手件視為剛體、以指定位移代替接觸分析，沒有計入對手件本身的變形（會讓實際應變略低，偏保守）。
  • 上蓋牆面只取 2 mm 厚、背面完全固定。實際牆面較柔，根部轉動會讓應變略低，偏保守。
  • 容許應變與摩擦係數是設計手冊的通用值，沒有針對特定料號。
  • 只分析 23 ℃ 的單次組裝，沒有評估潛變、疲勞、溫度影響與成型缺陷。
9 · 建議

設計建議與後續驗證

設計建議

  1. 採用方案 D：漸縮 1.5 → 0.75 mm、根部上下 R0.75、梁長 11 mm。
  2. 卡榫根部一律不要做直角。直角根部的應變無法算準，實際上會高於任何手算值。圓角半徑至少取根部厚度的一半（r/h ≥ 0.5）。
  3. 空間不允許加長時，改把扣合深度降到 0.7 mm：依比例換算 C 的應變約 1.23 %，但扣持力也會跟著下降，需要重新確認。
  4. 圖面上扣合深度標註公差（建議 0.8 +0 / −0.1 mm），避免因上偏差讓應變超標。
  5. 若產品只組裝一次、之後不再拆開，B 或 C 也可接受（容許值 2.5 %）。

建議實測

  • 組裝力：以拉力機量測組裝到底的峰值力，對照預估的 5.3 N（實際值應略低，見限制）。
  • 拔出力：確認扣持力足夠，上蓋不會在掉落或震動時脫開。
  • 反覆拆裝：依使用情境（例如 SD 卡插拔次數）做 50～100 次拆裝，檢查根部有無白化或裂紋。
  • 料號確認：向材料商取得實際料號的容許應變與割線模數，重新判定。
10 · 附錄

附錄

手算公式（Covestro，矩形斷面懸臂卡榫）

項目公式說明
容許變形（等厚）y = 0.67 · ε · L² / hA、B
容許變形（厚度漸縮到 h/2）y = 1.09 · ε · L² / hC、D
偏折力P = (b · h² / 6) · (E · ε / L)ε 為根部名目應變
組裝力W = P · (μ + tan α) / (1 − μ · tan α)α = 30°、μ = 0.5 → 1.515 P

假設清單

  • 材料均質、等向、線彈性，E = 2300 MPa、ν = 0.36。
  • 上蓋本體剛性無限大（牆面背面固定）。
  • 對手件為剛體，組裝到底時鉤子被推入 0.8 mm。
  • 23 ℃、準靜態組裝（不考慮組裝速度）。
  • 無殘留應力、無成型缺陷。

參考資料

  • Covestro,《Snap-Fit Joints for Plastics – A Design Guide》：表 1 卡榫公式、表 2 容許應變、圖 9 根部圓角對應力集中的影響
  • CalculiX 2.22 使用手冊（C3D10 元素、NLGEOM）

名詞解釋

FEM
有限元素法。把零件切成許多小元素，計算受力後的變形、應變與應力。
主應變
某一點在所有方向中最大的伸長或壓縮比例。卡榫以它對照材料的容許應變。
容許應變
材料在不產生永久變形或破壞的前提下，可以承受的最大應變。
應力集中
形狀突變處（例如根部轉角）的局部應力或應變高於名目值的現象。
奇異點
理想尖角處的理論應力為無限大，FEM 的數值會隨網格加密一直上升、無法收斂。
網格收斂
逐步加密網格，確認關鍵結果不再明顯改變，代表數值誤差已經夠小。
NLGEOM
幾何非線性分析，考慮大變形對剛性的影響。